Derivadas
Yair.es, miťrcoles 25 de marzo de 2009
M√ĀXIMOS y m√≠nimos
Problemas de Optimización
Director - 25/03/2009
En todas las latas cabe lo mismo, pero ¬Ņcual de ellas gasta menos alumnio?
Conceptos y ejercicios de problemas de m√°ximos y m√≠nimos. Una de las aplicaciones b√°sicas de las derivadas es la optimizaci√≥n de situaciones. Frecuentemente buscamos la m√°xima calidad, el m√≠nimo precio, la mayor resistencia, el menor esfuerzo, la m√°xima ganancia, el m√≠nimo coste... El c√°lculo de derivadas permite hallar los M√°ximos y m√≠nimos de una funci√≥n. Si somos capaces de expresar un problema como una funci√≥n podremos tambi√©n encontrar los valores √≥ptimos, de m√°s o de menos, que puedan interesar. Ejemplos 1- "Hallar un n√ļmero positivo que sumado con su inverso d√© un resultado m√≠nimo" Soluci√≥n: Queremos encontrar un n√ļmero x para que la funci√≥n x + 1/x tenga un m√≠nimo. Basta hacer la derivada de esta funci√≥n igual a cero para obtener como resultado positivo x = 1
para el que la suma con su inverso es 1 + 1/1 = 2¬† que es menor que cualquier otra opci√≥n: 2 + 1/2 = 2'5 3 + 1/3 = 3'33 0'5 +1/0'5 = 2'5 ... ... ... ... 2- "Hallar dos n√ļmeros positivos cuya suma sea 10 y cuyo producto sea M√°ximo" Soluci√≥n: Elegimos inc√≥gnitas: Un n√ļmero x, el otro y La funci√≥n a maximizar es su producto: P = xy Hay dos variables, x,y, pero tenemos una relaci√≥n "la suma es 10"¬† con la que podemos despejar y sustituir una de ellas: x+y = 10¬† =>¬† y = 10 - x¬† =>¬† P = x(10-x) = 10x - x^2¬†¬† que ya podemos derivar
Haciendo la derivada igual cero:¬† P' = 10 - 2x = 0 obtenemos x = 5 , y = 5 con lo que el resultado m√°ximo es P = 25 para los n√ļmeros 5 y 5 como se puede comprobar haciendo 1*10 = 10, 3*7 = 21, 4'2*5'8 =¬† 24'36¬† ... ... ...
  Método 1) Elegir incógnita(s) 2) Escribir función a optimizar 3) Si hay más de una incógnita escribir la condición que las relaciona y despejar 4) Derivar la función e igualarla a cero 5) Resolver la ecuación y obtener el valor de la(s) incógnita(s) 6) Responder al problema
Ideas - La situaci√≥n planteada en estos problemas se puede visualizar bien en los applets que acompa√Īan a los ejercicios o en otros del Proyecto Descartes - Son cl√°sicos los casos de geometr√≠a, en los que se suelen utilizar las f√≥rmulas elementales de √°reas y vol√ļmenes. ¬† - Enunciados de ejercicios en archivo adjunto. - Problema experimental en archivo adjunto: Con la misma capacidad ¬Ņqu√© lata de refresco cil√≠ndrica necesitar√° menos alumnio? Soluci√≥n detallada en Divulgamat¬†V√≠a masmates
Ejercicios de tres niveles en . Problemas de Máximos y mínimos (1) . Problemas de Máximos y mínimos (2) . Problemas de Máximos y mínimos (3)  
@Yair.es - Dpto. de Matem√°ticas

IES La Nucía

LA NUC√ćA

(Alicante)